Эконометрика лекции

Рис Для прямой имеем и так далее

Image

               Рис. 5. 6

Для прямой имеем

Image

и так далее.

Получаем, в результате

D(1) = {0,85;1,88;1,14;0,93;1,13;1,99;2,49;1,9;3,41;2.57;4,49;4,20;4,67;6,25}.

Для экспоненты X2(t) , имеем

Di(1) = lnxi+1 – lnxi; Di(1) =ln5,57 – ln4,72=0,17

и так далее.

В результате

D(1)={0,17;0,29;0,14;0,10;0,11;0,17;0,18;0,12;0,18;0,12;0,18;0,14;0,16}.

Очевидно, для экспоненциальной зависимости равенство Di(1) = const более приемлемо, чем для линейной зависимости. Оценим параметры a и b, решив систему нормальных уравнений МНК:

Image

Вычисляем необходимые суммы

Image
 

Получаем систему

Image.

Тогда, lna = 1,47; a = exp(lna) = 4,35;  b = 0,15.

Получим модель тренда X = 4.35*exp(0,15t).

Для сравнения приведем график выравнивания данного ряда с помощью экспоненциальной модели из пакета «STATISTICA»(см. рис.5.7). Некоторые расхождения в оценке коэффициентов объясняются погрешностями наших вычислений.

3). Проверим правильность полученной модели на основе поведения ряда остатков. Обозначим e(t) = X(t) - 4.35*exp(0,15t). Тогда

 

e(t1) = 4,72 – 4.35*exp(0,15*1) = – 0.35;

e(t2) = 5,57 – 4.35*exp(0,15*2) = – 0,34.

 

Аналогично получаем остальные e(ti), i = 3, 4, …, 15. В результате имеем ряд остатков:

e(ti) ={–0,35; –0,34; 0,56; 0,56;  0,17; –0,23; –0,04; 0,35; –0,18; 0,38; –0,37; 0,26; –0,05; –0,67; –0,54}.

Image

Рис. 5.7

Проверку соответствия найденной модели тренда можно осуществить тремя путями. Во-первых, проверим случайность ряда остатков на основе критерия поворотных точек (см. формулу (5.15)). Находим, что поворотных точек в нашем ряду восемь

(0,56; –0,23; 0,35; –0,18; 0,38; –0,37; 0,26; –0,67).

Вычислим правую часть q неравенства (15) при n = 15:

назад          далее